Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung - download pdf or read online

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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46 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen Ein entsprechender Zusammenhang wie zwischen T und P besteht f¨ ur jede Gerade g zwischen der Menge Tg aller Parallelverschiebungen, f¨ ur die Πg eine Richtung ist, und der Menge Pg aller Punkte auf g : Satz : Ist g eine Gerade einer (d)-Ebene und sind O und P Punkte von g , so ist ΦO (P ) = τOP ∈ Tg . Somit ist die Einschr¨ ankung ΦO |Pg ,Tg : Pg → Tg , P → τOP von ΦO : P → T auf Pg und Tg definiert. Sie ist bijektiv mit der Umkehrabbildung τ → τ (O) .

Deshalb beginnen wir dieses Kapitel mit der Definition von Parallelogrammen. Damit die Parallelverschiebungen τP Q auf ganz P und f¨ ur jedes Punktepaar (P, Q) erkl¨art sind, m¨ ussen bei den Parallelogrammen auch Sonderf¨alle zugelassen werden. Die Sonderf¨alle der uneigentlichen und ausgearteten Parallelogramme verl¨angern notwendigerweise einige der folgenden Herleitungen und lassen manche Beweise als etwas technisch erscheinen. Daher empfehlen wir, sich beim ersten Durcharbeiten auf den Fall der eigentlichen Parallelogramme zu konzentrieren und sich daran die jeweiligen Sachverhalte klar zu machen.

2b) F¨ ur P = X w¨ ahle man Y := Q. 1 (b) ist (P, Q, P, Q) ein uneigentliches Parallelogramm. 3. Fall : P = Q. Hier w¨ ahlt man Y := X. 1 (c) ein ausgeartetes Parallelogramm. ✷ Ordnen wir jedem Punkt X den nach obigem Satz eindeutig bestimmten Punkt Y zu, so erhalten wir eine Abbildung von P in sich : Definitionen : (a) F¨ ur jedes Punktepaar (P, Q) einer (d)-Ebene A sei τP Q : P → P die Abbildung, die jedem Punkt X den nach obigem Satz durch (P, Q) eindeutig bestimmten Punkt Y zuordnet, so dass (P, Q, X, Y ) ein Parallelogramm ist.

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by Kevin
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